Simulación numérica de algunos problemas de mecánica de fluidos con frontera libre

Résumé

Esta memoria trata sobre la simulación numérica bidimensional de fluidos bifásicos, En particular, se consideran dos fluidos Newtonianos, viscosos, incompresibles, e inmiscibles separados por una interfase que varía con el tiempo y en la que se consideran los efectos de la tensión superficial. Nos centramos en el movimiento de dos fluidos; suponemos que uno de los fluidos es una burbuja de gas que se encuentra inmersa en un líquido. Se lleva a cabo un análisis comparativo de distintas metodologías Eulerianas y estrategias numéricas ya existentes en la literatura para simular el transporte de la burbuja, calcular la curvatura de la interfase o evitar la difusión numérica de la interfase cuando el tiempo avanza. Estas metodologías son combinadas con la aplicación del método de elementos finitos estándar, y se incorpora la tensión superficial en la interface como un término integral en todo el líquido. Posteriormente se utiliza el método de elementos finitos extendidos que permite capturar de forma más eficaz la discontinuidad de la presión en la interfase de la burbuja. A lo largo de esta memoria se presenta un análisis exhaustivo del funcionamiento de todos los algoritmos acoplados cuando se reproduce la solución de ejemplos test o de ensayos de laboratorio, haciendo especial hincapié en el comportamiento de simulaciones con un número grande de pasos de tiempo, con valores grandes del coeficiente de tensión superficial en la interfase y con saltos severos en las propiedades mecánicas de los dos fluidos implicados, como son, la viscosidad y la densidad. Como elemento finito estándar se toma P1 en presión y para aproximar el campo de velocidades el mini-elemento que combina elementos P1 con elementos burbuja. En los elementos finitos extendidos, se enriquecerá la aproximación en presión dada por los estándar con los elementos enriquecidos de Belytschko o con los de Gross-Reusken. El último capítulo de la memoria se dedica al análisis matemático de un modelo asociado al proceso de llenado de un molde; en este caso, el fluido considerado es una espuma compresible, cuyo comportamiento es no Newtoniano y, en general, no homogénea. La memoria incluye un resultado de existencia y unicidad de solución para espumas homogéneas mediante técnicas de minimización de funcionales diferenciables convexos. También se da un resultado de existencia para el caso de espumas no homogéneas utilizando una técnica de punto fijo. En esta memoria, se combina una formulación en conjuntos de nivel y un método de elementos finitos; esta formulación permite incluir la tensión superficial sin necesidad de integrar sobre la propia interfase, que es una frontera libre del modelo. Se compara esta aproximación con otra propuesta por Sussman, Smereka y Osher en 1994, en la que la tensión superficial se incluye como una función delta de Dirac y, en consecuencia, aparece una integral que debe calcularse sobre la frontera libre; aunque estos autores proponen su resolución utilizando diferencias finitas, los resultados que presentaremos en esta memoria son obtenidos con elementos finitos. Se considera una formulación variacional mixta de las ecuaciones de Navier Stokes acoplada con la ecuación del transporte a través de un esquema explícito. La discretización en espacio de la formulación débil combina el método de elementos finitos y el método de las características para tratar el término convectivo. Esta discretización nos permite usar como primera opción el mini elemento el cual es estable y tiene un bajo coste computacional. Una vez obtenido el sistema lineal discretizado se resuelve con al algoritmo de Uzawa que se combina con un gradiente conjugado precondicionado para calcular la presión. Para mejorar la aproximación de la presión cuando ésta presenta una discontinuad severa en la interfase, se enriquece el espacio de elementos finitos, considerando funciones base enriquecidas sobre los elementos que son atravesados por la interfase; en particular, se consideran las funciones de enriquecimiento propuestas por Belytschko y también las propuestas por Gross-Reusken. diferencias con lo nuestro. Esta combinación de técnicas nos permite la simulación de fluidos bifásicos con grandes diferencias de viscosidad o densidad. En la aproximación numérica para resolver la ecuación del transporte usamos un esquema ENO de segundo orden para la discretización en espacio y el método de Euler o el de Adams-Bashforth para la discretización en tiempo; en la memoria también se analiza el comportamiento numérico en este tipo de modelos si se utilizan diferencias centradas o un método upwind para la discretización en espacio. Para controlar la excesiva difusión numérica de la interfase como en la literatura se introducen algunos procesos de reinicialización; el objetivo es mantener la función conjunto de nivel como una función distancia en cualquier instante de tiempo y, así, conseguir que la norma de su gradiente sea lo más próximo posible a la unidad; esto evita zonas de gradiente plano próximas a la interfase, lo que dificultaría distinguir los puntos que son de la interfase y los que no lo son. En particular, proponemos usar el proceso de reinicialización presentado por Sussman, Smereka y Osher, e incluir una condición de conservación de la masa como la propuesta por Sussman y Fatemi en 1999. Se presenta un análisis comparativo con otros procesos de reinicialización. Para la aproximación de la curvatura se elige la discretización utilizada por Sussman et al.