A study in theory and applications of impulsive differential equations

Resumen

Introducción y fundamentos Muchos sistemas dinámicos presentan un comportamiento dinámico de tipo impulsivo debido a cambios bruscos en ciertos instantes a lo largo de su evolución. La descripción matemática de estos fenómenos lleva a las ecuaciones diferenciales con impulsos. Dado que una ecuación diferencial con impulsos presenta nuevos e inesperados comportamientos incluso cuando la ecuación diferencial es suficientemente regular, se necesita investigar bajo qué condiciones se puede garantizar la existencia y prolongabilidad de la solución. Todo ello ha conducido a una intensa investigación sobre este tipo de ecuaciones. Tratados completos y sistemáticos pueden verse en [1 a 4] Por otra parte, las ecuaciones diferenciales funcionales han sido estudiadas con profundidad. Ha habido intentos de combinar la investigación en ambas áreas. Esta propuesta se centrará primordialmente en las ecuaciones diferenciales funcionales con impulsos, esto es, ecuaciones diferenciales con retrasos e impulsos con el fin de estudiar detalladamente diferentes aspectos y propiedades de esta clase de problemas. Metodología Las herramientas propias del análisis matemático, de la teoría de las ecuaciones diferenciales de tipo ordinario y en derivadas parciales, análisis real, y análisis funcional, muy en particular análisis funcional no lineal, serán las que se utilizarán en esta tesis. En particular, teoría de puntos fijos, método de las subsoluciones y sobresoluciones, métodos variacionales, teoría de la estabilidad de Lyapunov, técnicas de Razumikin, métodos iterativos, desigualdades diferenciales y otras técnicas qua han sido profusamente utilizadas en esta área. También se considerarán nuevos métodos y técnicas. Temas específicos La propuesta tiene tres partes de investigación que están íntimamente interrelacionadas: - Problemas de frontera para ecuaciones diferenciales funcionales con impulsos. Este tema ha sido investigado por el director Prof. J.J. Nieto y será un tema de estudio a fin de familiarizarse con los trabajos existentes, intentando hacer algunas mejoras de ciertos resultados siempre que ello sea posible, extender la investigación a condiciones funcionales o con impulsos cuando no hayan sido consideradas, tratar nuevos casos tales como ecuaciones en espacios de Banach o que contengan aleatoriedad o imprecisión. Finalmente se tratará de presentar una panorámica sistemática de la evolución, alcance, historia y teoría de esta temática con algunos nuevos resultados y contribuciones. - Enfoque variacional de las ecuaciones diferenciales con impulsos. Basado en el trabajo de Juan J. Nieto y Donal O'Regan [5, 6], la tesis considerará la aplicación de este método a nuevos problemas y situaciones. - Teoría del control y estabilidad de las ecuaciones diferenciales funcionales con impulsos. Se estudiará la posible estabilización por impulsos de ecuaciones diferenciales funcionales. A pesar de que ha habido algún intento, casi siempre no son los impulsos lo que hacen el sistema estable sino que simplemente no afectaban a la estabilidad de la ecuación diferencial funcional. Dada la importancia de este tema en aplicaciones reales, tales como la modelización matemática y tratamiento de tumores y cáncer, será de gran relevancia teórica y práctica el estudio de estas cuestiones. Referencias 1. V. Lakshmikantham, y otros, Theory of Impulsive Differential Equations.. Singapore, World Scientific, 1989. 2. M. Benchohra, J. Henderson and S. K. Ntouyas, Impulsive Dif ferential Equations and Inclusions, Hindawi Publishing Corporation,Vol. 2, 2006. 3. A.M. Samoilenko and N. A. Perestyuk, Impulsive Differential Equations, World Scientific, 1995. 4. S. T. Zavalishchin, A. N. Sesekin. Mathematics and its Applications, 394. Kluwer Academic Publishers Group, 1997. 5. J.J. Nieto, D. O'Regan. Nonlinear Analysis: Real World Applications 10 (2009). 6. J.J. Nieto. Applied Mathematics Letters 23 (2010).