Análisis matemático y numérico de las ecuaciones para aguas poco profundasaplicaciones a las ciencias medioambientales

Resumo

La presente memoria se divide en dos partes: La Parte I está dedicada al estudio de ciertos problemas relacionados con el medioambiente circunscritos al ámbito de los ríos y canales. Dentro de este eje destacan dos objetivos primordiales: por una parte, el estudio teórico de un modelo unidimensional para el flujo fluvial; por otra, la aplicación de este modelo a situaciones realistas de control medioambiental, como son, la localización óptima de los puntos de muestreo en un sistema de monitorización de la calidad del agua en un río, o la recuperación de tramos fluviales altamente contaminados mediante la inyección óptima de aguas limpias. Como primer objetivo se estudia la existencia de solución de un modelo no viscoso unidimensional para flujos en ríos cuyas incógnitas son el área húmeda y el caudal. Dicho modelo está constituido por un sistema de dos ecuaciones hiperbólicas cuyo dominio espacial es un intervalo acotado, complementado con condiciones iniciales y con condiciones de contorno. Se comienza estudiando teóricamente una semidiscretización en tiempo del problema continuo, para el que se demuestra, bajo hipótesis convenientes y usando técnicas de pseudo-monotonía, la existencia de solución teórica. A continuación, se intenta abordar el problema continuo. Escrito el problema en su forma conservativa, se observa que la parte del flujo tiene una dependencia de la variable espacial x. Aunque no se ha alcanzado el objetivo de probar la existencia de solución del problema en alguna de sus formulaciones equivalentes, (debido esencialmente a dificultades en el tratamiento de alguno de los términos fuente), se presentan algunas ideas para el estudio teórico del problema y algunos de los resultados parciales obtenidos. La Parte II de la memoria se centra en el estudio teórico y numérico de las ecuaciones de aguas poco profundas bidimensionales. Se presentan varios problemas de aplicación de estas ecuaciones a situaciones medioambientales realistas. En concreto, se aborda el diseño y funcionamiento óptimo de las escalas para peces, estructuras hidráulicas que permiten a los peces continuar sus migraciones fluviales a través de obstáculos construidos por el hombre. Para la construcción de una nueva escala se da una formulación matemática bien planteada del problema, se obtiene un sistema de estado adjunto con vistas al cálculo de la derivada de la función objetivo a minimizar (que contempla unas velocidades óptimas del agua adaptadas a las capacidades de cada especie, y la presencia de zonas de reposo), se presenta un algoritmo numérico (basado en el método de búsqueda directa de Nelder-Mead) para la resolución del problema, y se muestran algunos resultados numéricos obtenidos para escalas de hendidura vertical. El problema de la gestión óptima de una escala para peces ya existente (mediante el control del flujo de agua entrante) se aborda en el último apartado, que presenta una estructura similar a los anteriores: planteamiento matemático del problema ecológico, estudio teórico del problema de control (con la obtención de una condición de optimalidad para caracterizar las soluciones óptimas), derivación de un algoritmo numérico adecuado al problema, y presentación de resultados numéricos. En términos matemáticos el problema de la construcción de nuevas escalas para peces se formula como un problema de optimización de forma, mientras que la gestión de una escala ya construida da lugar a un problema de control frontera.