Extensiones centrales universales de álgebras Hom-Leibniz

Résumé

Las álgebras Hom-Leibniz son espacios vectoriales V dotados de un producto corchete [-,-] : V × V ? V y de una aplicación ? : V --> V satisfaciendo la denominada identidad Hom-Leibniz: [? (x),[y,z]] = [[x,y], ? (z)] -[[x,z], ? (z)], para todo x, y , z en V. Si además el corchete es antisimétrico, entonces se obtiene la definición de álgebra Hom-Lie. Cuando el homomorfismo ? es la identidad, la identidad Hom-Leibniz se convierte en la identidad de Leibniz clásica, convirtiendo las álgebras de Leibniz en un ejemplo de álgebras Hom-Leibniz. Surge entonces de forma natural la necesidad de estudiar en profundidad este tipo de estructuras algebraicas, intentando generalizar en la medida de lo posible los resultados conocidos sobre álgebras de Lie/Leibniz al contexto Hom-Lie/Hom-Leibniz así como las relaciones existentes entre ambas estructuras. El trabajo que se presenta se enmarca dentro de esta filosofía y, en concreto, se centra principalmente en el estudio de las extensiones centrales universales de álgebras Hom-Lie y Hom-Leibniz, así como en las relaciones existentes entre ellas, a parte del estudio de otras propiedades como son el levantamiento de automorfismos y derivaciones en extensiones centrales y el estudio de la extensión central universal de un producto semi-directo. Para abordar los retos descritos, la memoria comienza con un estudio sobre las nociones básicas de álgebra Hom-Lie/Hom-Leibniz, incluyendo la clasificación de las álgebras Hom-Leibniz complejas de dimensión 2 y un estudio categórico que determina que las álgebras Hom-Leibniz constituyen una categoría semi-abeliana que contiene a las álgebra Hom-Lie como una subcategoría de Birkhoff";" también se describen los complejos de cadena que permiten el cálculo de las homologías Hom-Lie y Hom-Leibniz, que constituyen las correspondientes generalizaciones de las homologías de Chevalley-Eilenberg y de Leibniz, y cuyo segundo grupo aparece como núcleo de las extensiones centrales universales. El estudio de la teoría de extensiones centrales universales de álgebras Hom-Leibniz se erige en el eje central de la memoria y con él se pretenden generalizar los criterios de reconocimiento de extensiones centrales universales que satisfacen categorías clásicas como grupos, álgebras de Lie, álgebras de Leibniz y otras similares. A saber, están caracterizadas por los siguientes resultados: a) Un álgebra es perfecta (L=[L,L]) si, y sólo si, admite una extensión central universal. b) (K) : 0 --> M --> K --> L -->0 es universal si, y solo si, K es perfecta y toda extensión central 0 --> N --> G --> K -->0 es escindida. c) (K) : 0 --> M --> K --> L -->0 es una extensión central universal si, y solo si, H1(K)=H2(K)=0. Para poder probar estas caracterizaciones es absolutamente imprescindible utilizar el hecho de que la composición de dos extensiones centrales también es una extensión central. Desafortunadamente esta propiedad no se mantiene en la categoría de álgebras Hom-Lie/Hom-Leibniz, lo que se ilustra con contraejemplos que muestran que la composición de extensiones centrales no es, en general, central. Este hecho provoca la introducción de nuevos conceptos de centralidad y perfección: Una extensión (K) : 0 --> (M, ? M) --> (K, ? K) --> (L, ? L) --> 0 se dice que es ? -central si ?M(M) ? Z(K). Un álgebra Hom-Lie/Hom-Leibniz (L, ?L) se dice que es ?-perfecta si L=[ ?L (L), ?L (L)]. También se introducen los correspondientes conceptos de extensión (?)-central universal, obteniéndose los criterios de reconocimiento de extensiones (?)-centrales universales de álgebras Hom-Lie/Hom-Leibniz que generalizan a los mencionados previamente, además de la relación entre las extensiones (?)-centrales universales de un álgebra Hom-Lie ? -perfecta en las categorías de álgebras Hom-Lie y Hom-Leibniz, respectivamente. Por otro lado, se introduce un producto tensor no-abeliano de álgebras Hom-Lie/Hom-Leibniz, estableciéndose su relación con la extensión (?)-central universal de un álgebra Hom-Lie/Hom-Leibniz (?)-perfecta. Cuando se particularizan los resultados obtenidos al caso ? = Id, se recuperan todos los resultados sobre extensiones centrales universales de álgebras de Lie/Leibniz. Los resultados anteriores permiten estudiar bajo que condiciones un automorfismo o una derivación puede ser levantado en una ? -capa (una extensión central de álgebras Hom-Leibniz f: (L', ?L') --> (L, ?L') en la que (L', ?L') es un álgebra Hom-Leibniz ? -perfecta) y analizar la relación entre la extensión ? -central universal del producto semi-directo de un álgebra de Leibniz perfecta que actúa sobre un álgebra Hom-Leibniz ? -perfecta y el producto semi-directo de las extensiones central y ? central universal correspondientes a cada una de ellas. Como conclusión de este análisis se establece que la ? -extensión central universal de un producto directo es isomorfa al producto directo de extensiones (?)-centrales universales, entre otros resultados.