Polinomios ortogonales de Laguerre-Hahn afín sobre la circunferencia unidad

Résumé

La presente memoria se desarrolla dentro del marco de la teoría de Polinomios Ortogonales estándar sobre la Circunferencia Unidad y se centra en los problemas de clasificación de funcionales o medidas, En el capítulo 1 se presentan las principales propiedades de las familias semiclásicas y se estudian los Polinomios Ortogonales de Jacobi. En concreto se obtiene una expresión para los momentos de la medida de Jacobi y representaciones hipergeométricas de la función de Carathéodory para casos particulares de dicha medida, así como para la función de Szegö. En el capítulo 2 se estudian los funcionales Laguerre-Hahn afín y se prueba que esta clase contiene estrictamente a la de los funcionales semiclásicos. Se presentan ejemplos de funcionales Laguerre-Hahn agín no semiclásicos. Se presentan ejemplos de funcionales de Lebesgue o de una modificación polinómica de dicho funcional a un funcional semiclásico verificando ciertas condiciones. En el capítulo 3 se introduce el concepto de representación polinómica minimal para un funcional Laguerre-Hahn afín y se establece su unicidad. Seguidamente se estudian algunas transformaciones de un funcional Laguerre-Hahn afín que conservan su carácter, así como transformaciones que en general no conservan la clase, para lo cual se estudian también los funcionales de segundo grado. Finalmente el estudio de los polinomios de segunda clase permite probar una propiedad diferencial para los simetrizados de los polinomios ortogonales de la clase Laguerre-Hahn afín que están en la clase Szegö. En el capítulo 4 se estudia la transformación que perturba un funcional mediante la adición del funcional de Lebesgue. Entre las propiedades obtenidas se destaca que en el caso definido positivo la nueva medida está en la clase Szegö, siendo integrable el inverso de su peso. A continuación se estudia el caso que corresponde a tomar como primera medida una de Bernstein-Szegö, obten