Interpolación de Hermite generalizada sobre la circunferencia unidad.

Resumo

La tesis está dedicada al estudio de problemas de interpolación de Hermite generalizada sobre la circunferencia unidad que corresponden a prefijar valores para las N primeras derivadas, tomando N mayor o igual que 2. El primer objetivo es la obtención de algoritmos para la computación de los polinomios de interpolación y se propone abordar buscando sus expresiones en bases de polinomios ortogonales con respecto a productos de Sobolev discretos definidos en función del problema planteado. En una primera aproximación se consideran sistemas nodales equiespaciados y se espera que los coeficientes puedan ser obtenidos de forma eficiente mediante el uso de la FFT. El uso de la transformación de Szegö y de los resultados obtenidos permitirán deducir algoritmos para el cálculo de los polinomios de interpolación de Hermite en intervalos acotados con N derivadas y sistemas nodales relativos a las familias de Tchebychef, asi como obtenere resultados relativos a la interpolación de Hermite trigonométrica. Otro de los objetivos es el estudio de la convergencia de los interpolantes para funciones continuas y la obtención de condiciones suficientes sobre los valores a prefijar para las derivadas de los interpolantes de modo que se pueda asegurar la convergencia uniforme. Finalmente proponemos considerar sistemas nodales sobre la circunferencia unidad más generales que los equiespaciados y abordar para ellos el análisis de la convergencia.A tese está adicada ó estudo de problemas de interpolación de Hermite xeneralizada sobre a circunferencia unidade que corresponden a prefixar valores para as N primeiras derivadas, tomando N mayor o igual que 2. O primeiro obxectivo é a obtención de algoritmos para a computación dos polinomios de interpolación e proponse abordar buscando as suas expresions en bases de polinomios ortogonais con respecto a productos de Sobolev discretos definidos en función do problema plantexado. Nunha primeira aproximación consideranse sistemas nodales equiespaciados e esperase que os coeficientes poidan ser obtidos de forma eficiente mediante o uso da FFT. O uso da transformación de Szegö e dos resultados obtidos permitirán deducir algoritmos para o cálculo dos polinomios de interpolación de Hermite en intervalos acotados con N derivadas e sistemas nodais relativos ás familias de Tchebychef, asi como obter resultados relativos á interpolación de Hermite trigonométrica. Outro dos obxectivos é o estudo da converxencia dos interpolantes para funcións continuas e a obtención de condicións suficientes sobre os valores a prefixar para as derivadas dos interpolantes de modo que se poda asegurar a converxencia uniforme. Finalmente proponemos considerar sistemas nodais sobre a circunferencia unidade mais xerais que os equiespaciados e abordar para eles o análise da converxencia.