Ortogonalidad Bernstein-Chebyshev en la recta real

Abstract

Esta tesis estudia las diferentes conexiones entre sistemas de polinomios ortogonales (P.O.) en la circunferencia unidad y en el intervalo [-1,1], tanto en la ortogonalidad estándar como en la orogonalidad Sobolev, obteniendo aplicaciones después de construir la oportuna teoría. En el primer capítulo se introducen los elementos básicos de la teoría y se obtienen algunos resultados de carácter general. En el capítulo segundo se estudian las diferentes conexiones entre P.O en la circunferencia y en la recta basadas en la relación de la familia Zn con los polinomios de Chebyshev de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie; y se prueba además que no existen otras familias de P.O., de Jacobi que se relacionen con dicha familia de una forma análogoa. Se desarrollan, en definitiva, tres nuevas conexiones entre los sistemas de polinomios en la circunferencia unidad y en la recta real (soporte acotado). Como consecuencia de la conexión resultan relacionados todos los tópicos de ambas teorías, incluyéndose resultados asintóticos y otros relativos a las funciones nucleares. En el capítulo tercero se utiliza la teoría desarrollada en el capítulo segundo para conocer adecuadamente las familias de polinomios que son ortogonales a modificaciones reacionales de medidas de Jacobi y a sumas de las anteriores con la correspondiente medida de Jacobi. Además se resuelven dos problemas inversos relacionados con los resultados anteriores. Por último el capítulo cuarto está dedicado a establecer una conexión similar a las estudiadas en el capítulo segundo pero en un ámbito radicalmente distinto, esto es, en el contexto delos productos escalares de Sobolev. Una vez desarrollada la teoría de la conexión, ésta se utiliza para obtener resultados asintóticos y de colocación de raíces en un contexto general y también bajo una condición suficiente que permite obtener información sobre el comportamiento en el soporte.