Arboles optimos y desigualdades de sobolev en rejillas

Résumé

La memoria Árboles Óptimos y Desigualdaes de Sobolev en Rejillas consta de tres capítulos. En el primero, dado un grafo simple y conexo G(V,E) y un árbol generador T, se definen los daños de congestión d(T,e) y abastecimiento d(A,T,e) que se producen en el árbol T al suprimir la arista e y se definen las constantes de congestión c(T,G) y de abastecimiento C(A,T,G) como los máximos daños posibles para las diferentes aristas del grafo. Un árbol óptimo To será aquel cuya constante de congestión o de abastecimiento sea mínima y el capítulo se dedica a la determinación de árboles óptimos en rejillas cuadradas Qn , triangulares Tn, haxagonáles Pn y rectángulares Qnm, Tnm y Pnm. Presentamos programas de MATLAB que construyen dichos árboles óptimos.Presentamos aplicaciones de la teoría para el diseño de cortafuegos óptimos y de riegos por goteo. En el capítulo dos hacemos una presentación de la estructura algebraica subyacente en un grafo. En la segunda sección se presenta una aplicación y un programa para resolver redes eléctricas. En la tercera se presentan las desigualdades de Sobolev en grafos. En la cuarta se estudian problemas de Dirichlet en grafos obteniendo programas que nos permiten calcular la distribución de temperaturas en placas aisladas cuadradas y triangulares conociendo la temperatura de su contorno. En la sección quinta se presentan distintas quasimétricas que se pueden definir en grafos que han sido programadas en MATLAB. En el tercer capítulo se estudian ciclos hamiltonianos de longitud mínima desarrollando las ideas presentadas en Designing Hamiltonian Cycles. En este capítulo los programas se presentan en SAGE que es un software libre para la experimentación en álgebra y geometría que por utilizar el lenguaje Phyton permite un ágil manejo de listas. No hemos entrado en la valoración de los algorítmos utilizados porque esa labor se está llevando a cabo en otra tesis del departamento pero hemos hecho énfasis en la traslación de conjuntos de puntos de la esfera al plano complejo y ello nos permite presentar ejemplos de interés de circuitos turísticos mínimos.