Caracterización topológica de conjuntos omega límite sobre variedades

Resumo

Esta tesis doctoral consta de una introducción en español, una introducción en inglés y cinco capítulos: uno de definiciones básicas y planteamiento del problema por estudiar y cuatro dedicados al estudio específico de los conjuntos omega límites sobre variedades, La división entre estos capítulos obedece a la diferencia entre espacios de fases estudiados (superficies o variedades) o a la naturaleza de la órbita que genera el conjunto omega límite (no recurrentes, recurrentes generando omega límites con interior vacío o recurrentes generando omega límites con interior no vacío). El problema estudiado es la caracterización topológica de los conjuntos omega límites de sistemas dinámicos continuos o dicho de otro modo, el estudio asintótico de las órbitas de un sistema dinámico continuo. Problema que supone la generalización del teorema de Vinograd. Se describe a continuación brevemente el contenido por capítulos. En el capítulo 1 se justifica el estudio de la noción abstracta de flujo local sobre variedades puesto que éstos derivan (cuando la variedad no tiene frontera combinatoria) de la solución de ecuaciones diferenciales. Se demuestra que cualquier flujo local sobre una variedad es equivalente un flujo global y en consecuencia a partir de entonces se estudia sólo la estructura asintótica de los flujos (globales). Se acaba el capítulo introduciendo la notación necesaria que se utiliza en el resto de la tesis. En el capítulo 2 el autor estudia exclusivamente los conjuntos omega límites de órbitas no recurrentes para flujos definidos sobre superficies compactas y conexas. Puesto que en la botella de Klein y en el plano proyectivo no existen órbitas recurrentes salvo las triviales, se presentan resultados alternativos al recogido para superficies compactas y conexas en general. En el capítulo 3 se da una caracterización topológica de los conjuntos omega límites con interior vacío de órbita