On the stabilization and global stability of discrete-time dynamical systems

Resumo

Esta tesis estudia la estabilidad de sistemas dinámicos unidimensionales discretos, los cuales pueden presentar dinámicas muy complejas. En el caso de los sistemas ecológicos, los cuales son el foco de la investigación llevada a cabo, esto está en línea con el hecho bien conocido de que las fluctuaciones en el tamaño de las poblaciones biológicas son ubicuas. Cómo reducir estas fluctuaciones cuando su efecto es no deseado es una de las mayores preocupaciones en programas de gestión de poblaciones. Los sistemas ecológicos tienen la dificultad añadida de que no es posible alterar su dinámica modificando directamente los parámetros del sistema en tiempo real. Como consecuencia, muchas de las técnicas para el control del caos desarrolladas en las últimas tres décadas no son aplicables en el control de poblaciones biológicas. En esta tesis presentamos dos nuevas estrategias de control que en lugar de modificar los parámetros del sistema afectan directamente a la variable de estado. Proporcionamos resultados analíticos que muestran que estas técnicas reducen las oscilaciones en el tamaño de las poblaciones y, por tanto, su aplicación mejora la estabilidad de las poblaciones controladas. Sin embargo, la complejidad de la naturaleza complica el análisis. Las poblaciones biológicas pueden mostrar comportamientos aparentemente ilógicos, como puede ser un mayor tamaño de población cuando se eliminan individuos o un mayor riesgo de extinción cuando éstos son repuestos. En vista de esta complejidad, investigamos el desempeño de las dos técnicas introducidas en esta tesis en diferentes escenarios que incluyen realidades biológicas como ruido, efecto retícula o efecto Allee. El análisis de estas dos estrategias de control nos lleva a un problema sobre sistemas dinámicos diferenciables a trozos. Estudiamos una estructura de bifurcación degenerada de una familia de funciones lineales a trozos e introducimos un nuevo tipo de bifurcación para estas funciones. Proporcionamos resultados teóricos que brindan una completa descripción tanto de la estructura de bifurcación como de la dinámica del sistema en los puntos de bifurcación. En particular, estos resultados nos permiten completar la solución de un problema aparecido recientemente en el campo de la economía. Esto constituye una muestra clara de que los sistemas dinámicos discretos juegan un papel importante en gran variedad de áreas, y de que los resultados presentados en esta tesis son de potencial interés en campos distintos a la dinámica de poblaciones, e.g., en ingeniería. Otro foco de esta tesis se halla en la estabilidad global de sistemas unidimensionales discretos. Esta propiedad de estabilidad es la más deseable, dado que permite predecir el comportamiento a largo plazo del sistema con independencia de la condición inicial. Sin embargo, probar que un sistema posee esta propiedad es en general una tarea difícil. En el caso de la gestión de poblaciones, varios aspectos pueden afectar a la estabilidad global de las poblaciones controladas. Es bien conocido que la reducción de población puede estabilizar poblaciones que posean un único equilibrio positivo convirtiendo a este equilibrio en un atractor global. Sin embargo, como ya se ha mencionado, los sistemas ecológicos son tremendamente complejos. En los últimos años se ha generado gran controversia sobre el efecto del momento de captura de individuos en la estabilidad de las poblaciones explotadas. En esta tesis investigamos el efecto combinado de la intensidad de captura y del momento en que ésta se realiza sobre la estabilidad global. Probamos que para modelos sobrecompensatorios generales el momento de intervención no tiene efecto sobre la estabilidad global del equilibrio positivo cuando la intensidad de captura es suficientemente alta. También probamos que el momento de captura puede ser tanto estabilizante como desestabilizante por él mismo. Esto último nos permite probar la falsedad de una conjetura recientemente aparecida en la literatura. En el caso del modelo de Ricker, el cual es uno de los modelos más relevantes en dinámica de poblaciones, probamos que retardar la captura no tiene efecto alguno sobre la estabilidad global del sistema para ninguna intensidad de captura. Introducimos asimismo un novedoso método que proporciona resultados similares para una amplia familia de modelos compensatorios usuales en dinámica de poblaciones, e.g., los modelos de Bellows, de Maynard-Smith-Slatkin o de Hassell. Este estudio nos permite obtener nuevos resultados de estabilidad global para algunos de estos modelos incluso en ausencia de control. El último problema considerado en esta tesis trata de la estabilidad global de sistemas unidimensionales discretos genéricos. Proponemos un nuevo método para el estudio de la estabilidad global, el cual complementa y extiende resultados existentes en la literatura en varias direcciones. Finalmente, proporcionamos varios ejemplos que muestran la aplicabilidad de este método.