Study of damage and remodelling models for bone tissueResolution with numerical methods

Resumo

Las propiedades mecánicas de los huesos son complejas y se pueden estudiar desde dos puntos de vista: el macroscópico y el microscópico. Las propiedades macroscópicas se modelan fenomenológicamente, mientras que las dinámicas microscópicas vienen dadas por las relaciones entre conjuntos de células. Esta tesis comprende una serie de investigaciones donde estudiamos modelos matmeáticos relacionados con el daño y con la remodelación ósea. Exploramos tanto los aspectos biomecánicos del daño y de la remodelación ósea desde el punto de vista macroscópico como los modelos de poblaciones de células. En la parte microscópica, desarrollamos un nuevo modelo que acopla los efectos de daño y remodelación ósea. La remodelación ósea es crucial para mantener la integridad del esqueleto a lo largo de nuestras vidas, ya que es necesaria para reparar el daño que aparece en las actividades cotidianas. Sin embargo, este acoplamiento entre ambos efectos no ha sido estudiado en profundidad. En esta tesis, lo primero que estudiamos es el modelo de daño propuesto por Frémond y Nedjar en 1996, para mostrar sus posibilidades en el modelado de tejido óseo. Después, presentamos su acoplamiento con el reconocido modelo de Weinans Huiskes y Grootemboer (1992). En ambos casos presentamos la formulación variacional de los modelos y una aproximación discreta de las soluciones por el método de elementos finitos. También llevamos a cabo análisis numéricos para obtener la convergencia de la solución discreta. En la segunda parte de la tesis estudiamos modelos microscópicos que reproducen el fenómeno de remodelación a nivel celular. Aunque la mayoría de estos modelos solamente tienen en cuenta efectos temporales, estudiamos el modelo espacio-temporal propuesto por Ayati y col. y mostramos una aproximación discreta de la solución. También proponemos una nueva extensión espacial del modelo temporal desarrollado por Graham y col. Finalmente, estudiamos un modelo de oseointegración de Moreo, García-Aznar y Doblaré, relevante para el comportamiento de implantes. Todos estos estudios incluyen un análisis numérico de la convergencia de las soluciones.