Escalas musicales, números irracionales y sistemas dinámicos

Abstract

En este trabajo se analiza la escala musical basada en los principios pitagóricos de la equivalencia de la octava y la concatenación de quintas. Veremos que esto convierte a la escala pitagórica en la órbita de una rotación irracional de la circunferencia y que, por tanto, no se «cierra» de forma exacta. Cuando aproximamos esta rotación irracional mediante rotaciones racionales aparece de forma natural el concepto de escala temperada, como la usada en la afinación del piano. Sorprendentemente, al analizar cuál es el número «óptimo» de notas para las escalas pitagórica y temperada nos vemos conducidos a los problemas clásicos de aproximación de segunda y de primera especie, respectivamente, de números irracionales mediante racionales. Ambos problemas se resuelven con el uso de fracciones continuas y tienen interesantes aplicaciones a la teoría musical.